アスコリアルツェラの定理

Ascoli-Arzelaの定理の証明

証明

Q^dは可算なのでUに含まれる有理点をr_1,r_2,...とする.

すると{f_n(r_1)}は仮定より有界なので収束する部分列{f_1n(r_1)}を取れる.

次に{f_1n(r_2)}を考えると,同様に{f_1n(r_2)}の中から収束する部分列{f_2n(r_2)}が取れる.

これを繰り返して得られた{f_1n},{f_2n},{f_3n},...の中からf_11,f_22,f_33,...を選んで得られる

{f_kk}を考えると,これは{f_n}の部分列であり,x=r_kとした時,

f_kk(r_k),f_(k+1)(k+1)(r_k),f_(k+2)(k+2)(r_k),…はf_knの部分列であることより収束する.

従って{f_kk}はUに属する任意の有理点で各点収束する.以下{f_kk}を{g_n}と表記する.

仮定よりε>0に対し

d(x,y)<δ(ε)→|g_n(x)-g_n(y)|<ε

なので,x∈Uに対してd(x,y)<δ(ε)を満たす有理点yを取ると,yではgは各点収束することからコーシーの収束定理から任意のε>0に対し

m>n>N(ε,x)→|g_m(y)-g_n(y)|<ε

が成立する.よって

m>n>N(ε,x)→|g_m(x)-g_n(x)|=|g_m(x)-g_m(y)+g_m(y)-g_n(y)+g_n(y)-g_n(x)|<3ε

なので{g_n}は開集合Uの任意の要素xで各点収束する.

ここで,Uの任意の有界閉部分集合をVとすると,{g_n}がVで一様収束することが言えれば,{g_n}は{f_n}の部分列であり,{f_n}はUで連続であることから主張が示される.

仮定よりε>0に対し

d(x,y)<δ(ε)→|g_n(x)-g_n(y)|<εなので

x∈Vに対し,{B(x,δ(ε))}(x∈V)を考えるとこれはVの開被覆なので,被覆定理から有限個のx_1,x_2,...,x_mを選んでV⊂∪[k=1,m]B(x_k,δ(ε))とできる.

ここでx_kに対し各点収束性から

m>n>N(ε,x_k)→|g_m(x_k)-g_n(x_k)|<ε

がいえるので

N(ε)=max{N(ε,x_1),N(ε,x_2),…,N(ε,x_m)}とすれば,

x∈Vを選んだ時,あるkがあってx∈B(x_k,δ(ε))なので,d(x,x_k)<δ(ε)を満たす.この時

m>n>N(ε)→|g_m(x)-g_n(x)|<|g_m(x)-g_m(x_k)+g_m(x_k)-g_n(x_k)+g_n(x_k)-g_n(x)|<3ε

なので{g_n}はVで一様収束する.以上より主張が示された.

対称式の基本定理の証明

対称式p(x_1,...,x_n)の変数の数nと、x_1の次数dに関する帰納法で示す。

n=1の時は基本対称式はs_1=x_1のみで明らかである。

d=0の時は対称性から全てのx_jの次数は0となるのでこれも明らかである。

次に,n=kの時主張は成り立つと仮定し、かつ、n=k+1かつd≦mならば主張は成り立つと仮定し、

n=k+1かつd=m+1の時主張が成り立つことを示す。

対称式p(x_1,...,x_(k+1))にx_(k+1)=0を代入すると、これはx_1からx_kの対称式であることから,

帰納法の仮定よりある多項式q及びx_1,...,x_kの基本対称式t_1,...,t_kを用いて

p(x_1,…,x_k,0)=q(t_1,…,t_k)と書ける。

x_1の次数を(m+1)とすればqのx_1に関する次数は(m+1)以下である。更に

r(x_1,..,x_(k+1))=p(x_1,…,x_(k+1))-q(s_1,…,s_k)を考える。

x_(k+1)=0を代入すれば,r(x_1,...,x_k,0)=0であるのでrはx_(k+1)で割り切れる。

p,qは対称式であることより対称性からrはs_(k+1)で割り切れることがわかる。従ってある対称式uを用いてrは

r(x_1,..,x_(k+1))=s_(k+1)u(x_1,…,x_(k+1))と書ける。

pのx_1に関する次数は(m+1),qのx_1に関する次数は(m+1)以下であることから,rのx_1に関する次数も(m+1)以下。よってuのx_1に関する次数はm以下で、uは対称式であることから帰納法の仮定よりある多項式vを用いて

r(x_1,…,x_(k+1))=s(k+1)v(s_1,…s_(k+1))と書ける。

したがって

p(x_1,…,x_(k+1))=s(k+1)v(s_1,…s_(k+1))+q(s_1,…,s_k)となり、n=k+1かつd=m+1の時の成立が言え、これより主張が示された。

楽典(和音までの準備)

1:長音階の構造

全,全,半,全,全,全,半…① の関係.

ドレミファソラシドがこれにあたり,ハ長調になる.

また,これらの音のいずれか1つを半音上げた時再び①の関係になるのは,

レ,ミ,ソ,ラ,シを半音上げてしまうと全音+半音の音程になる部分があり不適で,

ドを半音あげてしまうと半,全,半,全,全,全,全という関係になるが,これは長音階でない.

ファを半音あげると,全,全,全,半,全,全,半という関係になり,ソを主音と見なせば全,全,半,全,全,全,半という関係になっており,これは長音階である.つまりファを半音あげたとき,ソを主音として長音階の関係になるので,ト長調となる.

以上の考察は階名によらない.つまり,全,全,全,半,全,全,半という関係になっているとき,主音に対して4度の関係にある音を半音上げることで,5度の関係にある音を主音とする長調とすることができる.

したがって,ハ長調を基準にドレミファソラシに順に0,1,2,3,4,5,6という数字を割り当てる時,調号として#がn個付いているならば,4nを7で割った余りに対応する音が,その調号のときの長調としての主音である.実際,0(ハ長調),4(ト長調),1(ニ長調),5(イ長調),2(ホ長調),6(ロ長調),3(嬰ヘ長調),0(嬰ハ長調)となる.

また,もっとも右側についている#に対し2度上の関係にある音が主音の長調とも見なせる.

同様に半音下げるケースも考えてみよう.

まず,ファ,ドは半音下げると,ユニゾンの関係になってしまい不適.

レ,ソ,ラも半音下げると,全+半の音程になる部分があり不適なので,ミ,シに限られるが,ミの場合,全,半,全,全,全,全,半となり,長音階にならない.

シの場合だと,全,全,半,全,全,半,全となり,ファを主音と見なせば,全,全,半,全,全,全,半という関係になり長音階の関係になるので,ヘ長調となる.

これも階名によらないので,主音に対して7度の関係にある音を半音下げることによって,4度の関係にある音を主音とする長調とできる.よって同様の考えにより,♭がn個ついているとき,3nを7で割った余りに対応する音が,その調号の時の長調としての主音である.実際,0(ハ長調),3(ヘ長調),6(変ロ長調),2(変ホ長調),5(変イ長調),1(変ニ長調),4(変ト長調),0(変ハ長調)

また,もっとも右側についている♭に対し,4度下の関係にある音が主音の長調とも見なせる.

 

2:短音階の構造

以下は自然短音階(全,半,全,全,半,全,全)で考える.

これはその調号における長調の主音に対し,3度下の音を主音とすることで得られる.

 

以上により以下の公式が得られる.

ド~シに0,1,2,3,4,5,6という数字を割り当てたとき,(n=0,1,2,3,4,5,6,7)

(i)#がn個付いている場合

4n(mod.7)を主音とする長調になり,4n-2(mod.7)を主音とする短調となる.

(ii)♭がn個付いている場合

3n(mod.7)を主音とする長調になり,3n-2(mod.7)を主音とする短調となる.

 

(memo)

実際は主音の二度下の音を半音上げ導音にした和声的短音階や,導音の二度下の音も半音上げた旋律的短音階が使われることも多い.

 

3:2音の音程

以下では長調の主音を1とし,1,2,3,4,5,6,7と音に数字をつけておく.

1度:同じ音なので完全1度のみだが,臨時記号が付くと「増1度」となる.

2度:半音離れるか,全音離れるか,である.前者なら短2度,後者なら長2度となる.

具体的には3,4と7,8が短2度であり,それ以外が長2度となる.

3度:全音が2つ挟まれるか,全音1つと半音が1つ挟まれるか,である.前者を長3度,後者を短3度という.具体的には1,3と4,6と5,7が長3度である.(短2度が含まれないもの) それ以外が短3度である.

4度:全音が2つと半音が1つ挟まれるか,全音が3つ挟まれるかである.前者を完全4度といい,後者を増4度という.増4度は4,7のペアのみであり,それ以外は全て完全4度である.

5度:全音が3つと半音が1つ挟まれるか,全音が2つと半音が2つ挟まれるかである.前者を完全5度といい,後者を減5度という.減5度は7,4(11)のペアのみである.

6度:全音4つと半音1つ挟まれるか,全音3つと半音2つが挟まれるかである.3,1(8)と6と4(11)と7と5(12)が短6度で,それ以外が長6度である.これは記憶する必要はなく,3度のケースを転回して考えれば良い.(後述する)

7度:全音5つと半音1つか,全音4つと半音2つが含まれるかである.4,10と8,14が長7度であり,それ以外が短7度となる.これも2度を展開して考えれば良い.

 

(memo)

・増音程のことを英語でaugmented interval,減音程のことをdiminished intervalという.

・「長」,「短」とは,長音階,短音階由来である.それぞれの主音を1としたときの3度,6度,7度の関係を長,短と名づけている.

・長では全全半全全全半,短では全半全全半全全だが,1度,4度,5度,8度の関係はどちらも変わらない.このことから(も?)これらには「完全」という名前がつけられている.

・2音の音程が協和,不協和とされるかは学説によって異なる.一般に完全系は協和音とされ,7度および2度は不協和とされることも多い.3度,6度は場合による,ということである.

 

4:音程の転回

音程関係にある2つの音の低い方を1オクターブ上げるか,高い方の音を1オクターブ下げて新しい音程を作ることを音程の転回という.

1オクターブ内には全音が5つ,半音が2つ含まれており,ドとミのペアを考え,例えば「ド」を1オクターブ上げるもしくは下げることを考えるならば,ドレミファソラシドという配列を考えた時,低いドとミの間に含まれる全音と半音の数と,高いドとミの間に含まれる全音と半音の数の和は全音が5つと半音が2つである.また,低いドとミの度数は3度,高いドのミの度数は6度で,和は9である.

以上の考察は,転回する音を両端に配置することによって容易に一般化される.以上の考察により,転回する音をA(高い方をA,低い方をaとする),そうでない音をBとすると,(A,B)と(a,B)に含まれる全音と半音の数の和は一定であり,AとBの度数と,aとBの度数の和は9となることがわかる.

次に度数のペアについて考えてみよう.ペアとして有りうるのは,(1,8)(2,7)(3,6)(4,5)である.

以下では(A,B)と(a,B)に含まれる全音と半音の数の和は一定であるということを利用している.

(i)(1,8)…完全1度を転回することで完全8度となる.

(ii)(2,7)…長2度を転回することで,短7度となる.短2度を転回することで,長7度となる.

(iii)(3,6)…長3度を転回することで,短6度となる.短3度を転回することで,長6度となる.

(iv)(4,5)…完全4度を転回することで,完全5度となる.増4度を転回することで,減5度となる.

また,以上の操作は可逆である.

 

以上の操作により,「長音程は転回することで短音程へ,完全音程は展開しても完全音程のまま,増音程は転回することで減音程へ」となることがわかった.

よって実質的には2度,3度,4度の関係さえ把握しておけば,転回の考え方を用いることで,すべての音程の関係を得ることができることが分かった.

 

 

複素数について

 

複素数はよく「何故複素数が必要なのか」と取り上げられる概念であり,web上にはそれに対する答えも沢山載っている.オイラー恒等式が美しいから,便利だから,代数方程式の根を求めるために必要だから...などなど.

歴史的な答えは他のwebサイトに譲るとして,ここでは「複素数平面」に関して「ラグランジュ恒等式」に着目して,なぜ複素数平面が生まれたのかを考えてみる.

 

唐突だが,2つの実数x,yを用いて,実数でない「新たな数」を作ることを考えてみよう.

実数のみでは実数しか作れない(実数は四則演算について閉じている)ので,実数ではない数として新たにωというものを考え(ωはx,yに依存しない数),x+ωyという数を考えてみる.(ωの計算規則は一旦置いておいて)

α=x+yω,β=z+wω とすると,

α+β=(x+z)+(y+w)ω

αβ=xz+(xw+zy)ω+zwω^2 となっている.

足し算については可換群になることが容易に確かめられるが,積については閉じているわけではない,つまり2つの数同士の積がふたたびx+yiの形をした数になるわけではないので,ω^2の値を何らかに定めなければならない.

ただし,ω^2の値がなんであれ,分配法則や結合法則は成り立ち,乗法に関する単位元も存在するため,積について閉じていることがいえれば環であり,また明らかに可換であるため可換環である.(体であるかはわからないが)

 

ここまででωに必要な要素をまとめると,

・ω^2はaω+bの形になることが望ましい( a,bは実数)

・体(四則演算が可能な集合のこと)になるようなルール,つまり,任意の0を除く元が積に関して可逆元になるようなルールにならなければならない

となるが,

1/(x+yω)=(x-yω)/(x^2-(yω)^2) 

と式変形が可能なことを考慮すれば,ω^2=a(実数)となるように定めてやれば,簡単に体になってくれる(上に単純)ので,結局

・ωは,二乗すると実数になる数

が都合がいいことがわかる.

つまり,

実数x,yに対し,z=x+yω,ω^2=r(rは実数)という新たな数zを考えると,zは加減乗除を行うことのできる新たな数となることがいえる.

和はα+β=(x+z)+(y+w)ω 

積はαβ=xz+ryw+(xw+zy)ω

次にこの数に関して絶対値(ノルム)を導入してみる.

多少天下り的だが,xy平面にz=x+yωのx,yの値を対応付けすることを考えれば,絶対値はユークリッドノルム√(x^2+y^2)とするのが自然だろう.

ここで,実数では2つの実数の積の絶対値は,2つの実数の絶対値の積に一致するのであった. なので,この新たな数でも,その性質を保つようにrを定めてみよう.(別に,この性質を満たさないものはたくさんある.例えば,数ベクトルなど.)

この性質が成り立つためには,

(x^2+y^2)(z^2+w^2)=(xz+ryw)^2+(xw+yz)^2 

という式が成立していなければならないが,ここで,

ラグランジュ恒等式」というよく知られた恒等式があって,それは

(x^2+y^2)(z^2+w^2)=(xz-yw)^2+(xw+yz)^2

というものである.

これにより,「2つの数の積の絶対値は,2つの数の絶対値の積に一致する」

という性質を満たすためには,r=-1である必要があり,これによりω^2=-1という,実数ではありえない性質を持つω,つまりiの必要性が分かった.

 

以上の議論から,i^2=-1を満たす新たな数iを導入することによって,加減乗除を行え,かつ2つの数の積の絶対値は,2つの数の絶対値の積に一致するという性質を持つような新たな数の集合を作り出すことができた.このような性質を持つ体をノルム多元体という.

 

ただし,実際のところ複素数平面をこのような理由で作ったかはわからない.

 

もしかすると,複素数には「複素数平面上では,複素数に対して複素数を乗じることで拡大かつ回転に対応させることができる」という性質があるが,

αβ=xz+ryw+(xw+zy)ω 

であり,これは数ベクトル(z w) に対し,左上x 右上ry 左下y 右下x の二次正方行列をかけていることは等価なので,r=-1とすることで回転行列になるから…なのかもしれない.

 

さて,自然に考えられる拡張としては,

「実数を用いてノルム多元体であるような数w=x+yi+zjは考えられないのか?」

ということである.

換言すれば,

(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)=g^2+h^2+i^2 (ただし,g,h,iはa~fの線形和で表される式)

が成り立つようなg,h,iは存在するか?ということであるが,

これはhurwitzという数学者によって否定的に解決されているらしい.

このような等式が存在するのは,n=1,2,4,8のみであり,そこから「二元数(複素数)」,「四元数」,「八元数」が誕生している.(実際には16元数,なんてのも存在するようだが)

 

有名なのがオイラーの四平方恒等式であり,以下のようなものである.

(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=

(ax+by+cz+dw)^2+(ay-bx+cw-dz)^2+(az-bw-cx+dy)^2+(aw+bz-cy-dx)^2

証明はラグランジュ恒等式から類推したようで,

オイラーの恒等式 - Security Akademeia

に載っているが,完全にトリックである.四元数を用いれば容易に証明できるとあるが,それもそのはず,四元数はこれを元にして作られているからであろう.

 

 

 

 

積分に関する不等式

[定理](wirtinger's inequality) 

区間[0,1]で定義される微分可能な関数f(x)は,f(0)=f(1)=0を満たし,f'(x)は連続であるとする.このとき,以下の不等式が成立する.

∫[0,1] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx ≧ 0

 

[考え方]

g(x)=f(x)/(sinπx) を考えてみる. (x=0,1は置いておいて)

すると ,f(x)およびsinπxは(0,1)で微分可能なのだからg(x)も微分可能で,

f'(x)=g'(x)sinπx + πg(x)cosπx となり,代入して

f'(x)^2-(πf(x))^2 =

g'(x)^2 * (sinπx)^2 + π^2 * g(x)^2 * cos2πx + π * g(x) * g'(x) * sin2πx …①

ここで,第一項は非負であることと,

∫ π^2 * g(x)^2 * cos2πx dx = π/2 * g(x)^2 *sin2πx - ∫ π * g(x) * g'(x) * sin2πx dx …②

であることから (①の第3項 と ②の 第2項が打ち消し合う)

∫ f'(x)^2-(πf(x))^2 dx ≧  π/2 * g(x)^2 *sin2πx を得る.

 

あとは定積分すればよいのだが,g(x),g'(x)のx=0,1の挙動がわからないため,安易に定積分できない.

ここで,

lim[x→0]g(x)=lim[x→0]{f(x)-f(0)}/(x-0) * (πx/sinπx) * (1/π) = f'(0) * (1/π) 

lim[x→1]g(x)=lim[x→1]f(x)/sinπx=lim[x→0]{f(1-x)-f(1)}/-x * πx / sinπx  *(-1/π) =f'(1) * (-1/π)

であるので,g(x)はg(0),g(1)を以上の値と定めれば,[0,1]で連続.

 

しかし,g'(0),g'(1)で連続であるか(g'(0),g'(1)が有限確定値か)がわからないため,結局定積分はできないので,

lim[t→0]∫[t,1-t]g'(x)^2 * (sinπx)^2 + π^2 * g(x)^2 * cos2πx + π * g(x) * g'(x) * sin2πx dx

を考えると,

∫[t,1-t]g'(x)^2 * (sinπx)^2 + π^2 * g(x)^2 * cos2πx + π * g(x) * g'(x) * sin2πx dx

=π/2 *{ g(1-t)^2 *sin2π(1-t) - g(t)^2 * sin2πt } +∫[t,1-t] (g'(x)^2*(sinπx)^2) dx …③

となる.

t→0として,この第2項が有限確定値αに収束すれば,

lim[t→0]∫[t,1-t]g'(x)^2 * (sinπx)^2 + π^2 * g(x)^2 * cos2πx + π * g(x) * g'(x) * sin2πx dx

=α となるが,

lim[t→0]∫[t,1-t] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx

=lim[t→0]∫[t,1-t]g'(x)^2 * (sinπx)^2 + π^2 * g(x)^2 * cos2πx + π * g(x) * g'(x) * sin2πx dx

であり,

「関数f(x),g(x)があって関数f(x)がx→0で0に収束し,h(x)=f(x)+g(x) としてh(x)がx→0でαに収束するとき,g(x)はαに収束する.」

という補題により,

(注:この補題は不要,移項してしまえば差の極限はおのおのが収束するなら極限の差に一致するという定理を適用すればいいだけなので.)

lim[t→0]∫[t,1-t] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx はf'(x),f(x)の連続性から,∫[0,1]f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx に収束し,かつ有限確定値.

lim[t→0]∫[t,1-t]g'(x)^2 * (sinπx)^2 + π^2 * g(x)^2 * cos2πx + π * g(x) * g'(x) * sin2πx dx

については③から第一項は0に収束する為,

上の結果と合わせてlim[t→0]∫[t,1-t] (g'(x)^2*(sinπx)^2) dxも収束することが言える.

∫[0,1] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx = lim[t→0]∫[t,1-t] (g'(x)^2*(sinπx)^2) dx となる.

 

さて,

g’(x)sinπx = f'(x) - πg(x)cosπx であったのだから, 

x→0 のとき (左辺) = f'(0) - πg(0) = f'(0) - f'(0) = 0

x→1 のとき (左辺) = f'(1) + πg(1) = f'(1) - f'(1) = 0

なので,(g'(x)sinπx)^2はx→0,1で0に収束することがわかる.

よって,g'(x)^2*(sinπx)^2は[0,1]で連続であることが保証されたので,

∫[0,1] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx = ∫[0,1] (g'(x)sinπx)^2 dx  ≧ 0 が結論付けられる.

 

注)補題の証明

任意の正の数εに対し,ある正の数δをとれば必ず|x|<δの範囲で|g(x)-α|<ε となることを示せばよいが,

仮定より,任意の正の数εに対し,

|x|<δ_1 ⇒ |f(x)+g(x)-α|<ε/2

|x|<δ_2 ⇒ |f(x)|<ε/2

なので,δ=max{δ_1,δ_2} として|x|<δの範囲で

|g(x)-α|=|f(x)+g(x)-α-f(x)|<|f(x)+g(x)-α|+|f(x)|<ε となるので,g(x)はαに収束する.