京都大学 理学研究科数学系 院試について

インターネット上には院試についての情報がほとんどないのでまとめておく.(1次合格発表時点で書いているので,情報が加われば更新します.) 1.出題について H29年からは基礎科目と専門科目と英語のみになった. H29年のみ基礎科目の出題が 微積分,線形代数,微分…

アスコリアルツェラの定理

Ascoli-Arzelaの定理の証明 証明 Q^dは可算なのでUに含まれる有理点をr_1,r_2,...とする. すると{f_n(r_1)}は仮定より有界なので収束する部分列{f_1n(r_1)}を取れる. 次に{f_1n(r_2)}を考えると,同様に{f_1n(r_2)}の中から収束する部分列{f_2n(r_2)}が取れる…

対称式の基本定理の証明

対称式p(x_1,...,x_n)の変数の数nと、x_1の次数dに関する帰納法で示す。 n=1の時は基本対称式はs_1=x_1のみで明らかである。 d=0の時は対称性から全てのx_jの次数は0となるのでこれも明らかである。 次に,n=kの時主張は成り立つと仮定し、かつ、n=k+1かつd≦m…

楽典(和音までの準備)

1:長音階の構造 全,全,半,全,全,全,半…① の関係. ドレミファソラシドがこれにあたり,ハ長調になる. また,これらの音のいずれか1つを半音上げた時再び①の関係になるのは, レ,ミ,ソ,ラ,シを半音上げてしまうと全音+半音の音程になる部分があり不適で, ドを半音…

複素数について

複素数はよく「何故複素数が必要なのか」と取り上げられる概念であり,web上にはそれに対する答えも沢山載っている.オイラーの恒等式が美しいから,便利だから,代数方程式の根を求めるために必要だから...などなど. 歴史的な答えは他のwebサイトに譲るとして,…

積分に関する不等式

[定理](wirtinger's inequality) 閉区間[0,1]で定義される微分可能な関数f(x)は,f(0)=f(1)=0を満たし,f'(x)は連続であるとする.このとき,以下の不等式が成立する. ∫[0,1] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx ≧ 0 [考え方] g(x)=f(x)/(sinπx) を考えてみる. (x=0,1は置い…