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アスコリアルツェラの定理

Ascoli-Arzelaの定理の証明 証明 Q^dは可算なのでUに含まれる有理点をr_1,r_2,...とする. すると{f_n(r_1)}は仮定より有界なので収束する部分列{f_1n(r_1)}を取れる. 次に{f_1n(r_2)}を考えると,同様に{f_1n(r_2)}の中から収束する部分列{f_2n(r_2)}が取れる…

対称式の基本定理の証明

対称式p(x_1,...,x_n)の変数の数nと、x_1の次数dに関する帰納法で示す。 n=1の時は基本対称式はs_1=x_1のみで明らかである。 d=0の時は対称性から全てのx_jの次数は0となるのでこれも明らかである。 次に,n=kの時主張は成り立つと仮定し、かつ、n=k+1かつd≦m…

楽典(和音までの準備)

1:長音階の構造 全,全,半,全,全,全,半…① の関係. ドレミファソラシドがこれにあたり,ハ長調になる. また,これらの音のいずれか1つを半音上げた時再び①の関係になるのは, レ,ミ,ソ,ラ,シを半音上げてしまうと全音+半音の音程になる部分があり不適で, ドを半音…

複素数について

複素数はよく「何故複素数が必要なのか」と取り上げられる概念であり,web上にはそれに対する答えも沢山載っている.オイラーの恒等式が美しいから,便利だから,代数方程式の根を求めるために必要だから...などなど. 歴史的な答えは他のwebサイトに譲るとして,…

積分に関する不等式

[定理](wirtinger's inequality) 閉区間[0,1]で定義される微分可能な関数f(x)は,f(0)=f(1)=0を満たし,f'(x)は連続であるとする.このとき,以下の不等式が成立する. ∫[0,1] f'(x)^2 - (πf(x))^2 dx ≧ 0 [考え方] g(x)=f(x)/(sinπx) を考えてみる. (x=0,1は置い…