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複素数について

 

複素数はよく「何故複素数が必要なのか」と取り上げられる概念であり,web上にはそれに対する答えも沢山載っている.オイラー恒等式が美しいから,便利だから,代数方程式の根を求めるために必要だから...などなど.

歴史的な答えは他のwebサイトに譲るとして,ここでは「複素数平面」に関して「ラグランジュ恒等式」に着目して,なぜ複素数平面が生まれたのかを考えてみる.

 

唐突だが,2つの実数x,yを用いて,実数でない「新たな数」を作ることを考えてみよう.

実数のみでは実数しか作れない(実数は四則演算について閉じている)ので,実数ではない数として新たにωというものを考え(ωはx,yに依存しない数),x+ωyという数を考えてみる.(ωの計算規則は一旦置いておいて)

α=x+yω,β=z+wω とすると,

α+β=(x+z)+(y+w)ω

αβ=xz+(xw+zy)ω+zwω^2 となっている.

足し算については可換群になることが容易に確かめられるが,積については閉じているわけではない,つまり2つの数同士の積がふたたびx+yiの形をした数になるわけではないので,ω^2の値を何らかに定めなければならない.

ただし,ω^2の値がなんであれ,分配法則や結合法則は成り立ち,乗法に関する単位元も存在するため,積について閉じていることがいえれば環であり,また明らかに可換であるため可換環である.(体であるかはわからないが)

 

ここまででωに必要な要素をまとめると,

・ω^2はaω+bの形になることが望ましい( a,bは実数)

・体(四則演算が可能な集合のこと)になるようなルール,つまり,任意の0を除く元が積に関して可逆元になるようなルールにならなければならない

となるが,

1/(x+yω)=(x-yω)/(x^2-(yω)^2) 

と式変形が可能なことを考慮すれば,ω^2=a(実数)となるように定めてやれば,簡単に体になってくれる(上に単純)ので,結局

・ωは,二乗すると実数になる数

が都合がいいことがわかる.

つまり,

実数x,yに対し,z=x+yω,ω^2=r(rは実数)という新たな数zを考えると,zは加減乗除を行うことのできる新たな数となることがいえる.

和はα+β=(x+z)+(y+w)ω 

積はαβ=xz+ryw+(xw+zy)ω

次にこの数に関して絶対値(ノルム)を導入してみる.

多少天下り的だが,xy平面にz=x+yωのx,yの値を対応付けすることを考えれば,絶対値はユークリッドノルム√(x^2+y^2)とするのが自然だろう.

ここで,実数では2つの実数の積の絶対値は,2つの実数の絶対値の積に一致するのであった. なので,この新たな数でも,その性質を保つようにrを定めてみよう.(別に,この性質を満たさないものはたくさんある.例えば,数ベクトルなど.)

この性質が成り立つためには,

(x^2+y^2)(z^2+w^2)=(xz+ryw)^2+(xw+yz)^2 

という式が成立していなければならないが,ここで,

ラグランジュ恒等式」というよく知られた恒等式があって,それは

(x^2+y^2)(z^2+w^2)=(xz-yw)^2+(xw+yz)^2

というものである.

これにより,「2つの数の積の絶対値は,2つの数の絶対値の積に一致する」

という性質を満たすためには,r=-1である必要があり,これによりω^2=-1という,実数ではありえない性質を持つω,つまりiの必要性が分かった.

 

以上の議論から,i^2=-1を満たす新たな数iを導入することによって,加減乗除を行え,かつ2つの数の積の絶対値は,2つの数の絶対値の積に一致するという性質を持つような新たな数の集合を作り出すことができた.このような性質を持つ体をノルム多元体という.

 

ただし,実際のところ複素数平面をこのような理由で作ったかはわからない.

 

もしかすると,複素数には「複素数平面上では,複素数に対して複素数を乗じることで拡大かつ回転に対応させることができる」という性質があるが,

αβ=xz+ryw+(xw+zy)ω 

であり,これは数ベクトル(z w) に対し,左上x 右上ry 左下y 右下x の二次正方行列をかけていることは等価なので,r=-1とすることで回転行列になるから…なのかもしれない.

 

さて,自然に考えられる拡張としては,

「実数を用いてノルム多元体であるような数w=x+yi+zjは考えられないのか?」

ということである.

換言すれば,

(a^2+b^2+c^2)(d^2+e^2+f^2)=g^2+h^2+i^2 (ただし,g,h,iはa~fの線形和で表される式)

が成り立つようなg,h,iは存在するか?ということであるが,

これはhurwitzという数学者によって否定的に解決されているらしい.

このような等式が存在するのは,n=1,2,4,8のみであり,そこから「二元数(複素数)」,「四元数」,「八元数」が誕生している.(実際には16元数,なんてのも存在するようだが)

 

有名なのがオイラーの四平方恒等式であり,以下のようなものである.

(a^2+b^2+c^2+d^2)(x^2+y^2+z^2+w^2)=

(ax+by+cz+dw)^2+(ay-bx+cw-dz)^2+(az-bw-cx+dy)^2+(aw+bz-cy-dx)^2

証明はラグランジュ恒等式から類推したようで,

オイラーの恒等式 - Security Akademeia

に載っているが,完全にトリックである.四元数を用いれば容易に証明できるとあるが,それもそのはず,四元数はこれを元にして作られているからであろう.