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対称式の基本定理の証明

対称式p(x_1,...,x_n)の変数の数nと、x_1の次数dに関する帰納法で示す。

n=1の時は基本対称式はs_1=x_1のみで明らかである。

d=0の時は対称性から全てのx_jの次数は0となるのでこれも明らかである。

次に,n=kの時主張は成り立つと仮定し、かつ、n=k+1かつd≦mならば主張は成り立つと仮定し、

n=k+1かつd=m+1の時主張が成り立つことを示す。

対称式p(x_1,...,x_(k+1))にx_(k+1)=0を代入すると、これはx_1からx_kの対称式であることから,

帰納法の仮定よりある多項式q及びx_1,...,x_kの基本対称式t_1,...,t_kを用いて

p(x_1,…,x_k,0)=q(t_1,…,t_k)と書ける。

x_1の次数を(m+1)とすればqのx_1に関する次数は(m+1)以下である。更に

r(x_1,..,x_(k+1))=p(x_1,…,x_(k+1))-q(s_1,…,s_k)を考える。

x_(k+1)=0を代入すれば,r(x_1,...,x_k,0)=0であるのでrはx_(k+1)で割り切れる。

p,qは対称式であることより対称性からrはs_(k+1)で割り切れることがわかる。従ってある対称式uを用いてrは

r(x_1,..,x_(k+1))=s_(k+1)u(x_1,…,x_(k+1))と書ける。

pのx_1に関する次数は(m+1),qのx_1に関する次数は(m+1)以下であることから,rのx_1に関する次数も(m+1)以下。よってuのx_1に関する次数はm以下で、uは対称式であることから帰納法の仮定よりある多項式vを用いて

r(x_1,…,x_(k+1))=s(k+1)v(s_1,…s_(k+1))と書ける。

したがって

p(x_1,…,x_(k+1))=s(k+1)v(s_1,…s_(k+1))+q(s_1,…,s_k)となり、n=k+1かつd=m+1の時の成立が言え、これより主張が示された。