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アスコリアルツェラの定理

Ascoli-Arzelaの定理の証明

証明

Q^dは可算なのでUに含まれる有理点をr_1,r_2,...とする.

すると{f_n(r_1)}は仮定より有界なので収束する部分列{f_1n(r_1)}を取れる.

次に{f_1n(r_2)}を考えると,同様に{f_1n(r_2)}の中から収束する部分列{f_2n(r_2)}が取れる.

これを繰り返して得られた{f_1n},{f_2n},{f_3n},...の中からf_11,f_22,f_33,...を選んで得られる

{f_kk}を考えると,これは{f_n}の部分列であり,x=r_kとした時,

f_kk(r_k),f_(k+1)(k+1)(r_k),f_(k+2)(k+2)(r_k),…はf_knの部分列であることより収束する.

従って{f_kk}はUに属する任意の有理点で各点収束する.以下{f_kk}を{g_n}と表記する.

仮定よりε>0に対し

d(x,y)<δ(ε)→|g_n(x)-g_n(y)|<ε

なので,x∈Uに対してd(x,y)<δ(ε)を満たす有理点yを取ると,yではgは各点収束することからコーシーの収束定理から任意のε>0に対し

m>n>N(ε,x)→|g_m(y)-g_n(y)|<ε

が成立する.よって

m>n>N(ε,x)→|g_m(x)-g_n(x)|=|g_m(x)-g_m(y)+g_m(y)-g_n(y)+g_n(y)-g_n(x)|<3ε

なので{g_n}は開集合Uの任意の要素xで各点収束する.

ここで,Uの任意の有界閉部分集合をVとすると,{g_n}がVで一様収束することが言えれば,{g_n}は{f_n}の部分列であり,{f_n}はUで連続であることから主張が示される.

仮定よりε>0に対し

d(x,y)<δ(ε)→|g_n(x)-g_n(y)|<εなので

x∈Vに対し,{B(x,δ(ε))}(x∈V)を考えるとこれはVの開被覆なので,被覆定理から有限個のx_1,x_2,...,x_mを選んでV⊂∪[k=1,m]B(x_k,δ(ε))とできる.

ここでx_kに対し各点収束性から

m>n>N(ε,x_k)→|g_m(x_k)-g_n(x_k)|<ε

がいえるので

N(ε)=max{N(ε,x_1),N(ε,x_2),…,N(ε,x_m)}とすれば,

x∈Vを選んだ時,あるkがあってx∈B(x_k,δ(ε))なので,d(x,x_k)<δ(ε)を満たす.この時

m>n>N(ε)→|g_m(x)-g_n(x)|<|g_m(x)-g_m(x_k)+g_m(x_k)-g_n(x_k)+g_n(x_k)-g_n(x)|<3ε

なので{g_n}はVで一様収束する.以上より主張が示された.